Materi Pembuktian Kelas XI

Materi Pembuktian: Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika

Nama: Dasya Putrinda H. (08)

Kelas:XI IPS 2

1. Metode Pembuktian Langsung

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi (p

q) atau biimplikasi (p

q) atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah bentuknya menjadi pernyataan implikasi. Misal kita punya teorema p

q, dengan p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan bahwa berlaku q.

contoh :

Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x pangkat 2 bilangan ganjil.

Bukti :

Diketahui x ganjil, jadi dapat didefinisikan sebagai x := 2n + 1 untuk suatu n

. Selanjutnya, x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2) + 1, dengan mengambil m := 2n2 + 2, m

maka x2 = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.

2. Metode Pembuktian Tak Langsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p

q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q

~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

contoh:

Buktikan, jika x2 (x pangkat 2) bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.

Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x2 = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau

tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah ”Jika x genap maka x2 genap”. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = (2n)2 = 2 (2n2) = 2m yang merupakan bilangan genap.

3. Metode Kontradiksi

Pembuktian melalui kontradiksi (bahasa Latin: reductio ad absurdum, 'reduksi ke yang absurd', bahasa Inggris: proof by contradiction, 'bukti oleh kontradiksi'), adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

contoh:

Contoh klasik pembuktian melalui kontradiksi pada zaman Yunani Kuno adalah pembuktian bahwa akar kuadrat dari duamerupakan bilangan irasional (tidak bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat). Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan cara mengasumsikan sebaliknya bahwa √2 adalah bilangan rasional, sehingga bisa dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat a/b dalam pecahan yang paling sederhana. Tapi jika a/b = √2, maka a2 = 2b2. Ini berarti a2 adalah bilangan genap. Karenakuadrat dari bilangan ganjil tidak mungkin genap, maka a adalah bilangan genap. Karena a/b adalah pecahan paling sederhana bpastilah ganjil (sebab pecahan genap/genap masih bisa disederhanakan). Namun karena a adalah bilangan genap (anggap 2r artinya a2 (4r2) adalah bilangan kelipatan 4, dan b2 adalah bilangan kelipatan 2 (genap). Hal ini berarti b juga merupakan bilangan genap, dan ini merupakan kontradiksi terhadap kesimpulan sebelumnya bahwa b pastilah ganjil. Karena asumsi awal bahwa √2 adalah rasional mengakibatkan terjadinya kontradiksi, asumsi tersebut pastilah salah, dan ingkarannya (bahwa √2 adalah irasional) merupakan pernyataan yang benar.

4. Metode Induksi Matematika

Semua inferensi Matematika dimulai secara deduktif mengakibatkan sulitnya melakukan pembuktian secara induktsi. Untuk itu dibuatlah pendekatan langkah-langkah untuk membuktikannya. langkah dimulai dengan menerapkan n bilangan asli pertama kemedian melakukan generalisasi pada n=k dan membuktikan kebenaran n= k+1.

contoh :