Soal Persamaan Garis Singgung Pada Kurva dan Garis Normal

Soal Persamaan Garis Singgung Pada Kurva dan Garis Normal

Nama: Dasya Putrinda H. 

Absen: 9

Kelas : 11 IPS 2

sumber: mathcyber1997.com

Garis Normal

Titik $A(1,(a+2\left)\right)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)=a{x}^2-(a+1)x+6$. Tentukan persamaan garis normal kurva di titik $A$.

Jawaban: 

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^2-(a+1)x+6$ dan titik $A(1,(a+2\left)\right)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)$.
Substitusi $x=1$ pada $f\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}f\left(1\right)& =a(1{)}^2-(a+1\left)\right(1)+6\\ a+2& =a-(a+1)+6\\ a+2& =5\\ a& =3\end{array}$
Dengan demikian,
$f\left(x\right)=3x^2-4x+6$ dan $A(1,5)$.
Substitusi $x=1$ pada $f^{\prime }\left(x\right)$ untuk mendapatkan gradien garis singgung di $A$.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =6x-4\\ m^{\prime }=f^{\prime }\left(1\right)& =6\left(1\right)-4\\ m^{\prime }& =2\end{array}$
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung sehingga gradiennya adalah
$m=-\frac{1}{m^{\prime }}=-\frac{1}{2}$.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1,y_1)=(1,5)$ dan bergradien $m=-\frac{1}{2}$ adalah
$\begin{array}{cc}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-5& =-\frac{1}{2}(x-1)\\ 2y-10& =-x+1\\ x+2y& =11\end{array}$
Jadi, persamaan garis normal di titik $A$ adalah $x+2y=11$

Garis Singgung

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan.

$\mathrm{a.)\; f}\left(x\right)=\sin x$ di titik dengan absis $x=\frac{\pi }{6}$.

$b.)\; f(x)=\cot x-2\csc x$ di titik dengan absis $x=\frac{\pi }{3}$.

Jawaban a)
Untuk $x=\frac{\pi }{6}$, diperoleh
$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
Titik singgung di $(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2})$.
Turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=\sin x$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=\cos x$.
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f^{\prime }$ saat $x=\frac{\pi }{6}$, yaitu
$m=f^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1,y_1)=(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2})$ dan bergradien $m=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah
$\begin{array}{cc}y& =m(x-x_1)+y_1\\ y& =\frac{1}{2}\sqrt{3}(x-\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}\\ 2y& =\sqrt{3}(x-\frac{\pi }{6})+1\end{array}$
Jadi, persamaan garis singgungnya dinyatakan oleh $2y=\sqrt{3}(x-\frac{\pi }{6})+1$
Jawaban b)
Untuk $x=\frac{\pi }{3}$, diperoleh
$\begin{array}{cc}f\left(\frac{\pi }{3}\right)& =\cot \frac{\pi }{3}-2csc\frac{\pi }{3}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{3}-2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\\ & =(1-4)\frac{\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}\end{array}$
Titik singgung di $(\frac{\pi }{3},-\sqrt{3})$.
Turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=\cot x-2\csc x$ adalah
$\begin{array}{cc}v{f}^{\prime }\left(x\right)& =-{\csc }^{2}x-2(-\csc x\cot x)\\ & =2\csc x\cot x-{\csc }^{2}x\end{array}$
Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f^{\prime }$ saat $x=\frac{\pi }{3}$, yaitu
$\begin{array}{cc}m& =f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)\\ & =2\csc \frac{\pi }{3}\cot \frac{\pi }{3}-{\csc }^2\frac{\pi }{3}\\ & =2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}-{\left(\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)}^2\\ & =\frac{4}{3}-\frac{4}{9}\left(3\right)=0\end{array}$
Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $(x_1,y_1)=(\frac{\pi }{3},-\sqrt{3})$ dan bergradien $m=0$ adalah
$\begin{array}{cc}y& =m(x-x_1)+y_1\\ y& =0(x-\frac{\pi }{6})+(-\sqrt{3})\\ y& =-\sqrt{3}\end{array}$