Program Linear Kelas 11

Program Linear adalah suatu metode atau progaram untuk menentukan nilai optimal (maksimum atau minimum) dari beberapa pertidaksamaan linear yang diketahui.

Dalam program linear terdapat dua bagian yaitu fungsi kendala (batasan-batasan berupa pertidaksamaan) dan fungsi Objektif (sasaran / tujuan).

Sebagai tambahan sebagai kemudahan dalam mengingat kaitannya dalam materi ini khususnya dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 variabel(peubah)

A. Menentukan Persamaan Garis Sebelum Menjadi Pertidaksamaan

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Gambar (I)}&\textrm{Gambar (II)}\\\hline &\\ &\displaystyle \frac{y-b}{n-b}=\displaystyle \frac{x-a}{m-a}\\ &\\ \textbf{ax+by}=\textbf{ab}&\textrm{atau}\\ &\\ &y=\displaystyle \frac{n-b}{m-a}\left ( x-a \right )+b\\ &\\\hline \end{array}$ .

B. Menentukan Daerah Pertidaksamaan

Adalah koefisien x bertanda positif, maka

$\begin{cases} \textrm{Daerah yang diarsir adalah \textbf{sebelah kiri} garis}\: \: \left (< \textrm{atau} \leq \right ) \\\\ \textrm{Daerah yang diarsir adalah \textbf{sebelah kanan} garis}\: \: \left (> \textrm{atau} \geq \right ) \end{cases}$ .

Coba perhatikanlah ilustrasi berikut!

C. Langkah-Langkah Penyelesaian Program Linear

Hal penting dalam menyelesaikan program linear adalah

Model Matematika dan Penentuan Nilai Optimum Fungsi Objektif

adalapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

Membuat model matematika(menerjemahkan persoalan ke dalam bahasa matematika)
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear (dua variabel) dengan mengarsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan (tulisan yang bergaris miring terserah selera pembaca)
menentukan titik-titik sudut (Verteks / titik ekstrem )
Menentukan penyelesaian Optimasi dari fungsi objektif (kadang ditulis sebagai fungsi sasaran / tujuan) f(x,y)=ax+by baik dengan metode uji titik sudut (Verteks / titik ekstrem) atau garis selidik.

$\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 1.&(\textrm{SPMB 2003})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut adalah himpunan semua (x,y)}\\ &\textrm{yang memenuhi} \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{A}.&2x+y\leq 30,\: 3x+4y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{B}.&2x+y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{C}.&x+2y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{D}.&x+2y\leq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{E}.&2x+y\geq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0 \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \textbf{A}\\ &\textrm{Persamaan garisnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{array}{ll|llllllllll}\\ &Y&&&&\\ &&&&&&\\ &15&&&&\\ &&&&&\\ &&&&&&&&&X\\\hline &0&&&&&&20&&\\ \multicolumn{4}{l}{.}&&& \end{array}&\begin{array}{ll|llllllll}\\ &Y&&&&\\ &&&&&&\\ &30&&&&\\ &&&&&\\ &&&&&&&X\\\hline &0&&&15&&&\\ \multicolumn{4}{l}{.}&&& \end{array}\\\hline \begin{aligned}15x+20y&=15\times 20\\ 3x+4y&=60 \end{aligned}&\begin{aligned}30x+15y&=30\times 15\\ 2x+y&=30 \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\textrm{arsiran sebelah kiri}\\ &\textrm{garis masing-masing yang tersebut}\\ &\textrm{sehingga pertidaksamaan akan berupa} \end{aligned}}\\\hline 3x+4y\leq 60&2x+y\leq 30\\\hline \end{array} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 2.&(\textrm{SPMB 2004})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut adalah himpunan penyelesaian}\\ &\textrm{yang dimenuhi oleh} \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{A}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{B}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{C}.&6+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\geq 0\\ \textrm{D}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{E}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\geq 0,x-y\geq 0 \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \textbf{C}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Masing-masing garisnya adalah}:}\\\hline \begin{aligned}6x+5y&=6\times 5\\ 6x+5y&=30 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&=1\times 6\\ x+6y&=6 \end{aligned}&\begin{aligned}x&=y\\ \end{aligned}\\\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Daerah yang diarsir adalah}}\\\hline \textbf{Sebelah kiri}&\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Sebelah kanan}}\\\hline \begin{aligned}6x+5y&\leq 30\\ 6x+5y-30&\leq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&\geq 6\\ x+6y-6&\geq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x&\geq y\\ x-y&\geq 0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$ .

$\begin{tabular}{lp{20.0cm}}\\ 3.&Seorang penjahit memiliki persediaan 16 m kain sutera, 15 m katun, dan 11 m rayon yang hendak dibuat dua buah model dengan rincian sebagai berikut.\\ &Model A memerlukan 2 m sutera, 1 m katon, dan 1 m rayon per unit.\\ &Model B memerlukan 1 m sutera, 3 m katun, dan 2 m rayon perunit.\\ &Jika keuntungan pakaian model A adalah Rp3.000,00 per unitnya dan model B akan memberikan keuntungan per unitnya Rp5.000,00 , maka tentukanlah berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat didapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya! \end{tabular}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Persoalan tersebut di atas bila dituliskan ke dalam tabel adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \textrm{Bahan Kain}&\textrm{Model A} &\textrm{Model B}&\textrm{Tersedia}\\\hline \textrm{Sutera}&2&1&16\\\hline \textrm{Katun}&1&3&15\\\hline \textrm{Rayon}&1&2&11\\\hline \textrm{Keuntungan}&3.000&5.000&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Dan untuk \textbf{model matematika}nya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Proses Penyelesaian persoalan Program Linear}}\\\hline \textbf{Permasalahan}&\textbf{Fungsi Tujuan}&\textbf{Kendala-Kendala}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Menentukan keuntungan}\\ &\textrm{sebesar-besarnya} \end{aligned}&f(x,y)=3000x+5000y&\textcircled{1}\quad 2x+y\leq 16\\ &&\textcircled{2}\quad x+3y\leq 15\\ &&\textcircled{3}\quad x+2y\leq 11\\ &&\textcircled{4}\quad x\geq 0\\ &&\textcircled{5}\quad y\geq 0\\\hline \end{array}\\ & \end{aligned}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Langkah berikutnya adalah menentukan titik \textbf{verteks/ektrim}}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{daerah yang tidak berarsir adalah \textbf{daerah/wilayah penyelesaian}} \end{aligned}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Dengan bantuan ilustrasi gambar kita mendapatkan koordinat \textbf{titik-titik pojok (verteks/ektrem)}}:\\ &\textrm{yaitu A(8,0), B(7,2), C(3,4), dan D(0,5) khusus titik (0,0) tidak diperlukan }\\ &\textrm{karena yang diinginkan adalah nilai maksimal (keuntungan terbesar)}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y) = 3000x+5000y}}\\\hline \textrm{Titik Vertek}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline A(8,0)&f(A)=f(8,0)=3000(8)+5000(0)=24000&\textbf{Minimum}\\\hline B(7,2)&f(B)=f(7,2)=3000(7)+5000(2)=31000&\textbf{Maksimum}\\\hline C(3,4)&f(C)=f(3,4)=3000(3)+5000(4)=29000&\\\hline D(0,5)&f(D)=f(0,5)=3000(0)+5000(5)=25000&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, supaya penjahit medapat keuntungan \textbf{sebesar-besarnya} (Rp31.000,00), maka ia}\\ &\textrm{harus \textbf{membuat 7 unit} model A dan \textbf{2 unit} model B} \end{aligned}$ .

$\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x< -5&\textrm{e}.&x> 2&\textrm{i}.&\left | y \right |> 1\\ \textrm{b}.&x\leq -5&\textrm{f}.&y\leq -3&\textrm{j}.&\left | y \right |\geq 4\\ \textrm{c}.&y> 7&\textrm{g}.&\left | x \right |< 2&\textrm{k}.&\left | x \right |+\left | y \right |< 4\\ \textrm{d}.&y\geq 7&\textrm{h}.&\left | x \right |\leq 2&\textrm{l}.&\left | x \right |+\left | y \right |\geq 4 \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&0\leq x< 3&\textrm{e}.&0\leq y\leq 3\\ \textrm{b}.&-5<x\leq -3&\textrm{f}.&-3\leq y\leq 0\\ \textrm{c}.&0\leq x\leq 3&\textrm{g}.&-3\leq 2x< 0\\ \textrm{d}.&-3\leq x\leq 0&\textrm{h}.&0\leq 2y< 3 \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan}\\ &\begin{array}{llllllllll}\\ \textrm{a}.&\begin{cases} 2x+5y\geq 10 \\ x\geq 2 \\ y\leq 1 \end{cases}&\textrm{b}.&\begin{cases} x+y\leq 6 \\ 2x+3y\leq 12\\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}&\textrm{c}.&\begin{cases} x+y\leq 6 \\ 5x+9y\leq 45\\ 2x+y\leq 10\\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases} \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukann nilai optimum(minimum dan maksimum) dari fungsi objektif}\: \: f(x,y)=7x+2y\\ &\textrm{dengan wilayah kendala}\\ &\begin{cases} 2y-x\geq 0 \\ x+y\leq 8\\ 7x+2y\leq 14\\ x\geq 0,\: y\geq 0\\ x,y\in \mathbb{R} \end{cases} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Wilayah yang diarsir berikut di bawah adalah wilayah himpunan penyelesaaian, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{sistem pertidaksamaan tersebut}\\ &\textrm{b}.\quad\textrm{nilai maksimum dan minimum bila fungsi objektifnya}\: \: f(x,y)=x+4y \end{array}$ .

Sumber Referensi. : terima kasih kepada https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2018/08/26/program-linear/ sebagai penulis materi sehingga saya bisa sebarluaskan semoga bermanfaat

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2006. Kompetensi Matematika 3A SMA Kelas XII Semester Pertama. Jakarta: Yudistira.
Muis, A. 2009. Perang Siasat Matematika Dasar (Cetakan Kesembilanbelas). Bantul: KREASI WACANA.
Sharma, dkk. 2017. Jelajah Matematika 2 SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta: YUDISTIRA
Siswanto, Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3 : Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan-Departemen Pendidikan NAsional.

Search This Blog

Trigonometri dan Segala Penyelesaiannya

Program Linear Kelas 11

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral dan Contoh Soal

Contoh Soal Cerita Determinan dan Invers Matriks