perhitungan bayangan 1 titik, 1 garis, 1 persegi panjang, 1 kubus yang di transpormasi oleh translasi, dilatasi, refleksi dan rotasi

Soal Transformasi

Dasya Putrinda H. (08) XI IPS 2

1. Bayangan titik P(a,b) oleh rotasi terhadap titik pusat (0,0) sebesar −90∘ adalah P′(−10,−2). Nilai a+2b=⋯⋅

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x,y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 
Untuk $(x^{\prime },y^{\prime })=(-10,-2)$ dan $\theta =-{90}^{\circ }$, diperoleh
$$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos (-{90}^{\circ })& -\sin (-{90}^{\circ })\\ \sin (-{90}^{\circ })& \cos (-{90}^{\circ })\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-10\\ -2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right)\end{array}$$Diperoleh $y=-10$ dan $x=2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$, sehingga

 $a+2b=2+2(-10)=-18$

$\mathrm{2.\; Bayangan\; titik\; A}$$A$ dengan $A$$($$-$$1$$,$$4$$)$$A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y$$=$$-$$x$$y=-x$ adalah $\cdots$$\cdot$

Apabila titik $A$$($$x$$,$$y$$)$$A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y$$=$$-$$x$$y=-x$, maka bayangan titik $A$$A$ adalah $A^{}$${}^{}$$=$$($$-$$y$$,$$-$$x$$)$$A^{\prime }=(-y,-x)$. 
Jadi, bayangan titik $A$$($$-$$1$$,$$4$$)$$A(-1,4)$ adalah $A^{}$${}^{}$$($$-$$4$$,$$1$$)$$A^{\prime }(-4,1)$.


$\mathrm{3.\; Diketahui\; koordinat\; titik\; P}$$($$-$$8$$,$$12$$)$$P(-8,12)$. Dilatasi $[$$P$$,$$1$$]$$[P,1]$ memetakan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$(-4,8)$ ke titik $\cdots$$\cdot$$\cdots \cdot$$<br>$$<br>$Konsep dilatasi: Jika titik $($$x$$,$$y$$)$$(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $($$a$$,$$b$$)$$(a,b)$ dan faktor skala $k$$k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $($$k$$($$x$$-$$a$$)$$+$$a$$,$$k$$($$y$$-$$b$$)$$+$$b$$)$$(k(x-a)+a,k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$)$$(-4,8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $($$-$$8$$,$$12$$)$$(-8,12)$ dan faktor skala $1$$1$ adalah$($$1$$($$-$$4$$-$$($$-$$8$$)$$)$$+$$($$-$$8$$)$$,$$1$$($$8$$-$$12$$)$$+$$12$$)$$(1(-4-(-8))+(-8),1(8-12)+12)$ $=$$($$-$$4$$,$$8$$)$$=(-4,8)$ 
Dilatasi $[$$P$$,$$1$$]$$[P,1]$ memetakan titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$(-4,8)$ ke titik $($$-$$4$$,$$8$$)$$\boxed{{\displaystyle <span\; style="font-family:\; times;"><br></span>}}$$\boxed{{\displaystyle <span\; style="font-family:\; times;"><br></span>}}$

$4. Bayangan kurva  jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah …. Pembahasan:Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi dilatasi pusat O dan faktor skala 2:  Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2:  Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:    Sehingga diperoleh dua persamaan:    Jadi, bayangan kurva  jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah    5. Garis y = -3x + 1 diputar dengan  kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah ….Pembahasan:Matriks transformasi oleh rotasi dengan R(O, 90o):  Matriks transformasi oleh pencerminan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi oleh rotasi dengan R(O, 90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x:  Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:    Sehingga diperoleh dua persamaan:    Jadi, bayangan kurva y = -3 x + 1 oleh rotasi R(O, 90o kemudian dicerminkan terhadap sumbu x adalah      6. Bayangan kurva , oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y, adalah ….Pembahasan:Matriks transformasi oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2:  Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu y:  Matriks transformasi dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y:  Matriks transformasi untuk menentukan bayangan:    Sehingga diperoleh dua persamaan:    Jadi, bayangan kurva  oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah    7. Persamaan bayangan kurva y = 3x2 + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah ...Misalkan :T1 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.T2 = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.T = T2 o T1T1=[100−1]T1=[100−1]  dan  T2=[−1001]T2=[−1001]T=[−1001][100−1]=[−100−1]T=[−1001][100−1]=[−100−1]Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T adalah :[x′y′]=[−100−1][xy][x′y′]=[−100−1][xy][x′y′]=[−x−y][x′y′]=[−x−y]Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :x' = -x  ↔  x = -x'y' = -y  ↔  y = -y'Substitusi x dan y ke persamaan kurva :y = 3x2 + 2x − 1⇒  (-y') = 3(-x')2 + 2(-x') − 1⇔  -y' = 3(x')2 − 2x' − 1⇔  y' = −3(x')2 + 2x' + 1Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :y = −3x2 + 2x + 18. Diketahui titik A(3, -2) dipetakan oleh translasi T =  [1−2][1−2], kemudian dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A adalah ...Pembahasan=Bayangan titik A(3, -2) oleh translasi [1−2][1−2] adalah[x′y′]=[3−2]+[1−2][x′y′]=[3−2]+[1−2][x′y′]=[4−4][x′y′]=[4−4]dilanjutkan rotasi dengan pusat O sejauh 90° :[x′′y′′]=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘][x′y′][x″y″]=[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘][x′y′][x′′y′′]=[0−110][4−4][x″y″]=[0−110][4−4][x′′y′′]=[44][x″y″]=[44]Jadi, koordinat titik hasil peta adalah (4, 4)x+y−1=0$

9.Perhatikan grafik berikut.

Salah satu translasi yang dapat memindahkan garis $g$ ke garis $l$ adalah $\cdots \cdot$

Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut.
Dari titik $(-2,0)$ bergeser $5$ satuan ke kanan $(+5)$ menuju titik $(3,0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\left[\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right]$.
Selain itu, bisa juga dari titik $(0,4)$ lalu digeser ke bawah sejauh $4$ satuan $(-4)$ dan $3$ satuan ke kanan $(+3)$ menuju titik $(3,0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\left[\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right]$.

10. Persamaan bayangan garis 2 ditransformasikan oleh matriks $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$

Bayangan titik $(x,y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\stackrel{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}{\to }\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left[\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right]\\ & =\left(\begin{array}{c}x+y\\ x+2y\end{array}\right)\end{array}$
Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh
$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x+y\\ x+2y\end{array}\right)\stackrel{R_x}{\to }\left(\begin{array}{c}x+y\\ -x-2y\end{array}\right)\end{array}$ 
Diperoleh $x^{\prime \prime }=x+y$ dan $y^{\prime \prime }=-x-2y$. 
Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh 
$\{\begin{array}{c}-y=x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }\\ x=2x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }\end{array}$
Substitusikan ke $2x+y-1=0$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{cc}2(2x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime })-(x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime })-1& =0\\ 3x^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }-1& =0\end{array}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $3x+y-1=0$