Barisan dan Deret Geometri Kelas 11

Barisan dan Deret Geometri Kelas 11

Dasya Putrinda Haris (09

XI IPS 2

1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengali dengan sebuah bilangan tetap. barisan geometri sesudah dibagi suku sebelumnya selalu sama. 

Contohnya = 

a. Barisan 2,4,8,16,32,.....,1024 adalah geometri karena diperoleh suku sesudah diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengali 2 yaitu:

4 = 2.2, 8 = 4.2, 16 = 8.2, 32 = 16.2

b. Barisan 27,9,3,1,... adalah barisan geometri karena, suku sesudah diperoleh dari suku sebelumnya dnegan mengali ⅓ , yaitu:

9 = 27.⅓,  3 = 9.⅓,  1 = 3.⅓

Barisan 2,4,6,8,10,.... bukan baris geometri karena 4:2 tidak sama hasilnya dengan 6:4

Dalam barisan geometri, hasil bagi suku sesudah dengan suku sebelumnya yang selalu sama disebut rasio. Dalam hal ini rasio sama dengan perbedaan nilai setiap suku. Rasio umumnya dinotasikan dengan r. dalam contoh a. rasio barisannya = 3, sedangkan untuk contoh b rasio barisannya = ⅓

Rumus barisan geometri =

1. Untuk Mencari Rasio

2. Rumus Mencari Suku-n

Contoh Soal =

1. Tentukan nilai x supaya x+2, 2, x-1 merupakan barisan geometri!

2. Rasio dari barisan geometri: 3, 12, 48, 192,.... adalah?

12 : 3 = 4, 48 : 12 = 4, 192 : 48 = 4

Jadi rasio barisan geometri diatas adalah 4

3. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-4 sama dengan 12 dan suku ke-7 sama dengan 324. Rasio dari barisannya adalah?

4. Pada suatu barisan geometri, jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 30. Sementara suku ke-3 sama dengan 3. Tentukanlah suku ke-8!

Penyelesaian Soal :

diketahui : U₄ + U₆ = 30

                  U₃ = 3

Ditanya : suku ke-8 (U₈) ?

jawab :

(U₄ + U₆)/U₃ = 30/3

(ar³ + ar⁵)/ar² = 10

(ar² (r + r³))/ar² = 10

r + r³ = 10

r + r³ - 10 = 0

(r - 2) (r² + 2r + 5) = 0

r = 2

nilai suku ke-8 (U₈) hitung menggunakan rumus :

U₈ = ar⁷

U₈ = ar² . r⁵

    = 3 × (2)⁵

    = 3 × 32

    = 96

5. Diketahui barisan geometri mempunyai suku ke-3 sama dengan 24 dan suku ke-6 sama dengan 192. Tentukanlah suku ke-2 barisan tersebut!

Penyelesaian soal deret geometri

⇔ U₃ = 24 ⇒ ar² = 24 ......... [persamaan-1]

⇔ U₆ = 192 ⇒ ar⁵ = 192 ....... [persamaan-2]

Kedua persamaan dibagi, sehingga diperoleh r³ = 8 ⇒ r = 2

Substitusikan r ke persamaan-1

⇔ a(2)² = 24

⇔ a = 6

Selanjutnya,

⇔ U₂ = ar

⇔ U₂ = (6)(2) = 12

Rasio r = 2 dan suku kedua U₂ = 12

2. Deret Geometri

Deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku dari suatu barisan gheometri disebut deret geometri. Dengan demikian suku-suku yang membentuk deret geometri adalh suku-suku barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

dengan syarat r < 1

atau

dengan syarat r > 1

adapun untuk mencari Un khusus untuk deret aritmatika yaitu 

Contoh Soal =

1. Jumlah 10 suku pertama deret geometri = 1+2+4+8+... sama dengan?

Pembahasan :

Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

S10 = 2(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)

S10 = 2(2¹⁰ - 1)

S10 = 2(1024 - 1)

S10 = 2(1023)

S10 = 2046

2.  Tentukan jumlah 6 suku pertama deret = 2+4+8+16+...

3. Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku-suku positif. Jumlah 2 suku pertama= 16 dan jumlah 4 suku pertama = 160. Tentukan suku ke-5 deret geometri tersebut!

4. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 21 dan suku ke-6 = 168. Suku ke-8 barisan tersebut adalah?

5. Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

a = 2

r = 6/2 = 3

Un = 4374

Un = a.rⁿ⁻¹

Un = arⁿ/r

4374 = 2x 3ⁿ/3

3ⁿ = (3 x 4374)/2

3ⁿ = 6561

3ⁿ = 3⁸

n = 8

Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

S₈ = 2(3⁸ - 1)/(3 - 1)

S₈ = 2(6561 - 1)/2

S₈ = 6560

jumlah deret = 6560

3. Sisipan

Di antara dua bilangan diketahui,dapat disisipkan sejumlah bilangan sehingga bilangan-bilangan tersebut membentuk sebuah barisan geometri.

dengan rumus =

Contoh soal =

4.Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas (tak hingga). Deret geometri tak hingga biasanya dinotasikan sebagai S_∞. Secara matematis, deret geometri tak hingga dirumuskan sebagai berikut.

Secara umum, deret geometri dibagi menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan divergen.

1. Deret geometri tak hingga konvergen

Konvergen artinya memusat atau tidak menyebar. Deret geometri tak hingga yang konvergen berarti deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat deret geometri tak hingga jenis ini adalah rasio berada di antara -1 dan 1, yaitu -1 < r < 1 atau |r| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

2. Deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar. Deret geometri tak hingga yang divergen berarti deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga yang divergen adalah r < -1 atau r > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

Contoh Soal =

Perhatikan gambar berikut.

Di dalam persegi ABCD di atas, terdapat persegi-persegi lain secara terus menerus di mana 4 titik sudutnya diambil dari titik tengah persegi sebelumnya. Tentukan jumlah luas persegi yang terbentuk!

Pembahasan:

Perhatikan persegi yang pertama dan kedua berikut ini.

Nyatakan luas total sebagai L. Secara matematis, L dirumuskan sebagai berikut.

Tentukan luas persegi ABCD

 

Luas total persegi

 

Jadi, luas persegi yang terbentuk adalah 32 cm².

sumber= google.com dan buku cetak