Pembahasan Soal Turunan

Membahas Soal Ujian Nasional

Dasya Putrinda H. (9) XI IPS 2

UN 2013

Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan:

2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A

UN 2015

Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah...
A.  $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ cm
B.  $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ cm
C.  $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm
D.  $\frac{2}{3\sqrt{\pi }}$ cm
E.  $\pi$ cm

Pembahasan:

Laju pertambahan volume udara :
$\frac{dV}{dt}$ = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
$\frac{dr}{dt}$ = 20

Volume bola :
V = $\frac{4}{3}$πr³
$\frac{dV}{dr}$ = 4πr²

Dengan aturan rantai :

$\frac{dV}{dt}$ = $\frac{dV}{dr}$ × $\frac{dr}{dt}$
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = $\frac{1}{2\pi }$
r = $\sqrt{\frac{1}{2\pi }}$
r = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Jawaban : B

UN 2017

Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ...
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan:

Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = $\frac{27}{r^2}$

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr($\frac{27}{r^2}$)
L = πr² + $\frac{54\pi }{r}$

Turunan pertama L terhadap r :
L' = 2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ 

Luas akan minimum jika L' = 0
2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ = 0  (kali r²)
2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E

Sumber: smatika.blogspot.com

Membahas Soal Cerita

1. Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00

C. Rp48.000,00

Pembahasan:

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

2. Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas $324{\text{m}}^2$ untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

1. Jika lebar kandang $9$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
2. Jika lebar kandang $22$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum 
3. Jika panjang kandang $36$ meter, biaya pemasangan kawat akan minimum
4. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00
5. Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp432.000,00

Pembahasan:

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $\left(p\right)$ dan lebar $\left(l\right)$
$L=p\times l\Rightarrow l=\frac{324}{p}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling, sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $\left(k\right)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{array}{cc}k& =2p+2l\\ & =2p+2\left(\frac{324}{p}\right)\\ & =2p+\frac{648}{p}\end{array}$
$k$ akan maksimum saat $\frac{\text{d}k}{\text{d}p}=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}p}& =2-\frac{648}{p^2}\\ 0& =2-\frac{648}{p^2}\\ \frac{648}{p^2}& =2\\ p^2& =\frac{648}{2}=324\\ p& =\sqrt{324}=18\end{array}$
Untuk $p=18\text{meter}$, diperoleh
$l=\frac{324}{18}=18$.
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}}=2(p+l)=2(18+18)=72\text{m}$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72\times \text{Rp}12.000,00=\text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

Sumber: Mathcyber1997.com