PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Penerapan Turunan Al-Jabar

Dasya Putrinda H. (9) XI IPS 2

Suatu fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus atau turun terus pada suatu selang atau interval. Jika fungsi f : S → R, S ⊆ R , maka

• Fungsi f dikatakan naik jika ⩝ x₁ , x₂ ϵ S, x₁ < x_{2 →} f(x₁) < f(x₂)
• Fungsi f dikatakan turun jika ⩝ x₁ , x₂ ϵ S, x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂)

Jika f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ϵ I, maka

• Jika f ‘(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
• Jika f ‘(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
• Jika f ‘(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
• Jika f ‘(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I. (Manullang dkk., 2017) Sumber : https://tambahpinter.com/turunan-fungsi-aljabar/                                         

fungsi naik dan fungsi turun dapat kita amati pada sebuah bola yang dilemparkan ke atas sehingga lintasannya diwakili oleh kurva membentuk parabola. Pergerakan bola dari titik di permukaan menuju titik tertinggi merupakan kurva naik, sedangkan pergerakan bola dari titik tertinggi menuju titik di permukaan merupakan fungsi turun. Misalkan terdapat suatu fungsi f, maka kita dapat mendefiniskan fungsi naik, fungsi turun, dengan beberapa sifat di bawah ini. 

Fungsi f dikatakan naik, jika memiliki sifat:

Fungsi f dikatakan turun, jika memiliki sifat:

Sumber: https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/16/140237769/aplikasi-turunan-interval-fungsi-naik-dan-turun?page=all

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Sumber: https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/